命題の意味とは？例文や対偶をわかりやすく解説

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「命題」という言葉は、一般に数学において使われています。ところが、実際は現代文の用語として使われることも多いです。

そこで今回は、現代文と数学の両方に注目して「命題」の意味を簡単に分かりやすく解説しました。後半では、合わせてよく使われる「対偶」や「逆」「裏」などにも触れています。

命題の意味を簡単に

まずは、基本的な意味からです。

【命題（めいだい）】
①題号をつけること。また、その題。名題。
②論理学で、判断を言語で表したもので、真または偽という性質をもつもの。
③数学で、真偽の判断の対象となる文章または式。定理または問題。
出典：デジタル大辞泉（小学館）

「命題」には全部で３つの意味がありますが、一般的には②の意味として使われます。そのため、まずはこちらの意味から解説していきます。

「命題」とは「真または偽という性質をもつもの」を表します。簡単に言えば、「本当かウソかを判定できる文のこと」だと考えてください。

例えば、以下のような文は「命題」と言えます。

犬は動物である。
人間は卵を産む。
植物は土から栄養を得る。

この場合、1は「本当」、2は「ウソ」、3は「本当」ということが判定できると思います。

一方で、以下の文はどうでしょうか？

早く勉強しなさい！
大学に合格したいなぁ。
お化けは本当にいる。

1は「命令文」、2は「願望文」、3は「真偽がはっきりしない文」です。

これらの文は、本当かウソかを判定することができません。よって、「命題」とは言えないのです。

大事なのは、その文が本当かどうかではなく「ウソか本当かを判定できるかどうか？」です。

したがって、あからさまなウソのような文でもウソと判定できれば「命題」と言えるのです。

元々、「命題」という言葉は「論理学」の用語として生まれました。「論理学」とは、ある事実から別の事実を導く法則を明らかにする学問のことです。

例えば、以下のような「命題」があったとしましょう。

「全ての人間は死ぬ。」
「ソクラテスは人間だ。」

上記２つの「命題」から、「ソクラテスは死ぬ」という「命題」を導くことができます。この事を論理学では「三段論法（さんだんろんぽう）」と言うのです。

「三段論法」は、ギリシア時代に生まれた論理学の言葉です。「命題」という言葉は、本来はこのような使い方だったことになります。

命題を数学的に解説

「命題」は数学の問題としてもよく出題されます。「数学」の場合は「正誤を判定できる文章や式」という意味で使われます。

こちらも例を挙げましょう。以下の文や式は「命題」だと言えます。

２は偶数である。（正）
１＋３＝７（誤）
三角形の内角の和は180度である。（正）

いずれも、「正・誤」を判定できるのが分かるでしょう。一方で、以下の文は「命題」とは言えません。

１００は大きい数字である。
７は幸運な数字である。

「１００」という数字は、「１」から見れば大きいですが、「1億」から見ればかなり小さいです。そのため、「正・誤」が判断できないので「命題」とは言えないのです。

また、「７が幸運」というのはその人の個人的な意見であり、科学的に証明されているわけではありません。よって、この場合も「命題」とは言えないのです。

一般的には、数学において「命題の正誤のこと」を「真（しん）」や「偽（ぎ）」と言います。

命題が正しい場合は「その命題は真である」と言い、命題が正しくない場合は「その命題は偽である」と言います。

例えば、以下のような式があったとしましょう。

（１）１＋２＋３＝７　（２）４×３＝１２

この場合、

（１）の命題は偽である。（２）の命題は真である。

などと言うわけです。

逆・裏・対偶とは

「命題」とセットで使われる言葉が、「逆」「裏」「対偶（たいぐう）」の３つです。

これらの言葉は重要な内容なので、確認しておきましょう。まず、それぞれの意味は以下の通りです。

「逆」＝「仮定」と「結論」が入れ替わったもの。

「裏」＝「仮定」と「結論」両方が否定されたもの。

「対偶」＝「逆」にしてかつ「裏」にしたもの。

簡単な例を挙げます。

【命題】⇒卵を産めば、動物である。

【逆】⇒動物であれば、卵を産む。
【裏】⇒卵を産まなければ、動物でない。
【対偶】⇒動物でなければ、卵を産まない。

最初の文の「卵を産めば」の部分を「仮定」と言い、「動物である」の部分を「結論」と言います。この「仮定」と「結論」を逆さにして入れ替えることを「逆」と言います。

また、「仮定」と「結論」の位置はそのままで、文自体を両方とも否定することを「裏」と言います。さらに、「逆」と「裏」を両方組み合わせたものを「対偶」と言います。

ここで大事なのは「命題」と、その他３つ「逆」「裏」「対偶」の関係性です。まず、「命題」と「対偶」の真偽は必ず一致します。

つまり、「命題」が「真」であれば「対偶」も必ず「真」となり、「命題」が「偽」であれば「対偶」も必ず「偽」になるということです。

一方で、「命題」と「裏」、「命題」と「逆」の真偽は、必ずしも一致するとは限りません。ここが非常に重要なポイントとなります。

先ほどの例で言うと、

「卵を産めば、動物である。」＝（対偶）「動物でなければ、卵を産まない。」

という式は成り立ちます。

しかし、後者が「逆」や「裏」の場合は、真偽が一致するとは限らないのです。

「卵を産めば、動物である。」≠（逆）「動物であれば、卵を産む。」

「卵を産めば、動物である。」≠（裏）「卵を産まなければ、動物でない。」

どちらの場合も、後者（逆と裏）は、犬や猫、ライオンなど卵を産まない動物は数多くいます。そのため、真偽は一致しないことが分かります。

基本的に「命題」を扱う時は、仮定と結論を入れ替えたり否定したりします。特に、数学の証明問題ではその傾向がみられます。

したがって、命題と合わせて「逆」「裏」「対偶」の３つは覚えておく必要があるのです。

命題の使い方・例文

最後に、「命題」の使い方を実際の例文で紹介しておきます。

すべての命題は、真か偽のどちらかに分かれる。
ツチノコは絶対にいるという主張は、命題とは言えない。
「ウイルスは生物である」という主張は一つの命題である。
ある命題を数学的に証明すると、「定理」と呼ばれるようになる。
理論や命題などを深く追究していくのが、学者という仕事である。
命題の真偽を知るには、その命題の意味を前もって理解しておく必要がある。
「1＋1＝2」と「1＋1=3」は、どちらも真偽が分かるので命題と言える。

「命題」という言葉を「至上命題」と言い、「課題・任務」の意味で使う場合もありますが、本来の意味からするとこれは誤用です。「最優先課題」「重大任務」などのように使うのが正しいです。

なお、「命題」とよく似た言葉で「テーゼ」があります。「テーゼ」とは「ある観念についての主張を立てることや政治的方針」を意味します。

まとめ

以上、本記事のまとめとなります。

「命題」⇒真または偽という性質をもつもの。数学の場合は、正誤を判定できる文章や式。